Operasi Matriks

 

A.    PENJUMLAHAN DUA MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(a_ij ) dan B=(b_ij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(c_ij ) dimana (c_ij ) = (a_ij ) +(b_ij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (c_ij ) = (a_ij ) +(b_ij )  

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

Sifat-sifatPenjumlahanMatriks

Misalkan A , B dan C adalah matriks yang berordo sama,serta O adalah matriks identitas.

                                i.            Sifat komutatif : A+B = B+A

                              ii.            Sifat asosiatif   : (A+B)+C = A+(B+C)

                            iii.            Sifat identitas   : A+O = O+A

                            iv.            Lawan matriks : A+(-A) = (-A)+A = O

B.     PENGURANGAN DUA MATRIKS

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Sifat-sifat pengurangan Matriks

Misalkan A , B dan C adalah matriks yang berordo sama,serta O adalah matriks identitas.

                                i.            Sifat komutatif : A-B = B-A

                              ii.            Sifat asosiatif   : (A-B)-C = A-(B-C)

                            iii.            Sifat identitas   : A-O = O-A

                            iv.            Lawan matriks : A-(-A) = A+A = O

C.     PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR ( k )

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a_ij ) maka matriks kA=(ka_ij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )

Pada perkalianskalarberlakuhukumdistributif dimana k(A+B)=kA+kB.

Sifat-sifat PerkalianMatriks dengan Skalar

Jikamatriks A dan B berordo m × n danr , s ϵ bilangan real, maka :

a.         (r + s)A = rA + sA

b.         r(A + B) = rA + rB

c.         r(sA) = (r × s) A

d.        1 × A = A × 1 = A

e.         (-1)A = A(-1) = -A

D.    PERKALIAN DUA MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

1.    Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.

2.    Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

3.    Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c_ij ) berukuran mxn dimana

c_ij  = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ………………….+ a_ipb_pj

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

1.    Hukum Distributif, A×(B+C) = AB + AC

2.    Hukum Assosiatif, A×(B×C) = (A×B)×C

3.    Tidak Komutatif, A×B = B×A

4.    Jika A×B = 0, makabeberapakemungkinan

(i)   A=0 dan B=0

(ii)  A=0 atau B=0

(iii) A≠0 dan B≠0

5.    Bila A×B = A×C, belum tentu B = C

E.     TRACE MATRIKS

Trace dari matriks persegi ordo n × n didefinisikan sebagai jumlah jumlah elemen pada diagonal utama, yaitu diagonal dari kiri atas ke kanan bawah, dinotasikan dengan Tr (A). 

Trace (A) = _{ii →}  Trace (A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃+ ....+ a_ii