Soal Diferensial Dan Pembahasan 02

　　　

ＢＩＡＹＡ　ＭＡＲＧＩＮＡＬ　ＤＡＬＡＭ　ＭＡＴＥＭＡＴＩＫＡ 

（　ＭＡＲＧＩＮＡＬＣＯＳＴ　）

Biaya Marginal adalah marginal cost yaitu peningkatan atau penurunan total biaya suatu perusahaan akibat penambahan atau pengurangan satu unit keluaran; penentuan biaya marginal sangat penting dalam menentukan jumlah; biasanya, biaya marginal menurun sejalan dengan meningkatnya volume produksi sesuai dengan skala ekonomi, termasuk faktor potongan harga / diskon biaya material, tenaga kerja / pekerja terlatih, dan penggunaan mesin yang lebih efisien

Biaya marginal (marginal cost atau MC) dalam ilmu ekonomi didefinisikan sebagai perubahan dalam biaya total (total cost atau TC) yang terjadi sebagai akibat dari produksi suatu unit tambahan. Pendapatan marginal (marginal revenue atau MR) didefinisikan sebagai perubahan dalam pendapatan total (total revenue atau TR) yang disebabkan oleh penjualan suatu barang tambahan. Karena baik biaya total maupun pendapatan total merupakan fungsi dari tingkat output (Q), maka biaya marginal dan pendapatan marginal masing-masing dapat dinyatakan secara matematis sebagai turunan dari fungsi total mereka masing-masing. Jadi,

Jika TC = TC(Q), maka                    

Dan jika TR = TR(Q), maka             

Pendeknya, konsep marginal dari setiap fungsi ekonomi dapat dinyatakan sebagai turunan dari fungsi totalnya.

CONTOH 1.

Jika TR = 75Q - 4Q², maka MR = dTR/dQ = 75 – 8Q.

Jika TC = Q² + 7Q + 23,

maka MC = dTC/dQ = 2Q + 7.

CONTOH 2.

Dengan mengetahui fungsi permintaan P = 30 – 2Q, maka fungsi pendapatan marginal dapat diperoleh dengan mencari lebih dulu fungsi pendapatan total dan kemudian mengambil turunan dari fungsi pendapatan total dan kemudian mengambil turunan dari fungsi itu berkenaan dengan Q. jadi,

TR = PQ = (30 – 2Q)Q = 30Q - 2Q²

Kemudian,

Maka Q = 4, MR = 30 – 4(4) = 14; jika Q = 5, MR = 30 – 4(5) = 10

CONTOH 3.

 

 Turunan mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi. Pada titik-titik di mana turunannya adalah positif (seperti digambarkan oleh kemiringna positif dari garis singgung di A dan E dalam Gambar 4 – 1), fungsi tersebut menaik. Pada titik-titik di mana turunannya adalah negatif (seperti digambarkan oleh kemiringan negatif dari garis singgung di C dan F), fungsi tersebut menurun. Pada titik-titik di mana fungsi tersebut berada pada suatu maksimum relatif atau minimum relatif (B dan D), kemiringannya jelas sama dengan nol. Ini adalah syarat penting baik untuk maksimum relatif maupun minimum relatif. Untuk membedakan mereka secara matematis, diperlukan turunan kedua.

A

B

C

DD

E

F

y

x

Gambar 4 - 1

                                                                                                                              

 

CONTOH 4.

Turunan kedua mengukur tingkat perubahan dalam fungsi marginal (seperti diberiakn oleh turunan pertama). Jika turunan pertamanya nol, yang mununjukkan suatu kemiringan nol dan karena itu suatu dataran dalam fungsi, sedangkan turunan keduanya negatif, yang berarti bahwa fungsi tersebut bergerak turun dari dataran dan harus telah berada pada suatu maksimum relatif. Jika turunan pertamanya nol, dan turunan keduanya positif, berarti fungsi tersebut bergerak ke atas dari dataran dan dataran tersebut adalah suatu minimum relatif. Dengan mengingat bahwa turunan kedua yang positif dalam lingkungam (++) berarti kurva sedang bergerak ke atas dari dataran ( U ),dan turunan kedua yang negatif (- -) berarti kurva sedang bergerak ke bawah dari dataran ( ∩ ), suatu cara sederhana untuk mengingat kaidah tersebut adalah                

(a)  Minimum            (b) Maksimum

                 Titik di mana turunan pertama sama dengan nol disebut nilai kritis (eritical value), nilai stasioner (stasioner value), atau nilai ekstrim (eritical value). Jika turunan kedua sama dengan nol tetapi turunan ketiganya tidak sama dengan nol, maka nilai kritis bukanlah maksimum juga bukan minimum, tetai sebuah titik belok (inflection point) dimana fungsi berubah laju perubahannya. Titik A pada Gambar 4-4 (a) adalah suatu titik belok.

CONTOH 5.

Diketahui TC = 31 + 24Q – 5, 5Q² +  Q³,untuk mencari minimum relatif atau maksimum relatif bagi suatu fungsi biaya total.

1.    Pertama, carilah nilai kritis dengan mengambil turunan fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol.

Nilai-nilai kritisnya adalah        

2.    Ambillah turunan kedua untuk melihat apakah pada nilai kritis, fungsi tersebut akan minimum atau maksimum

Pada Q = 8,

           　　　　　　　　　　　　

Pada Q = 3,

                                                     

Jadi pada Q = 8, TC berada pada suatu minimum relatif dan pada Q = 3,TC berada pada suatu maksimum relatif.

Pada  Q = 8,                                               TC = 31 + 24(8) + 5,5(8)²  +   (8)³ = 41,67

Pada  Q = 3,                                               TC = 31 + 24(3) + 5,5(3)²  +   (3)³ = 62,5

3.    Hitunglah fungsi semula pada Q = 8 untuk mencari minimum relatif, dan pada Q = 3 untuk mencar maksimum relatif.

SOAL JAWABAN

1. Carilah fungsi (1) marginal dan (2) rata-rata untuk setiap fungsi total berikut. Hitunglah fungsi tersebut pada Q = 3 dan Q = 5.

       (a) TC = 3Q² + 7Q + 12

 

       Catatan : Apabila mencari fungsi rata-rata, jangan lupa membagi suku konstan dengan Q.                    
(b) p = Q² - 13Q + 78

(c) TR = 12Q – Q²

(d) TC = 35 + 5Q - 2Q² + 2Q³

 

4.2. Carilah fungsi-fungsi MR yang berhubungan dengan setiap fungsi penawaran berikut. Hitunglah fungsi-fungsi tersebut pada Q = 4 dan Q = 10

         (a) P = Q² + 2Q + 1

         Untuk mencari fungsi MR, dengan mengetahui fungsi penawaran (atau permintaan) sederhana, tentukan dulu fungsi TR cari turunannya berkenaan dengan Q.

TR = PQ = (Q² + 2Q + 1)Q = Q³ + 2Q² + Q

Pada Q = 4, MR = 3(4)² + 4(4) + 1 = 65.   Pada Q = 10, MR = 3(10)² + 4(10) + 1 = 341.

(b)  P = Q² + 0,5 Q + 3

TR = PQ = (Q² + 0,5 Q + 3)Q = Q³ + 0,5 Q² + 3Q

Pada Q = 4, MR = 3(4)² + 4 + 3 = 55.       Pada Q = 10, MR = 3(10)² + 10 + 3 = 313.

4.3.   Carilah fungsi-fungsi MR yang berhubungan dengan setiap fungsi penawaran berikut. Hitunglah fungsi-fungsi tersebut pada Q = 4 dan Q = 10.

(a)  Q = -72 + 3P

Apabila fungsi penawaran (atau permintaan) dinyatakan sebagai Q = f (P), carilah fungsi balikan (inverse) denagn menyelesaikan P = f (Q) kemudian lanjutkan seperti dalam Soal 4.2.

                                                                    

Pada Q = 4, MR =  (4) + 24 = 26 .       Pada Q = 10, MR =  (10) + 24 = 30  .

(b)  Q + 60 – 5 P = 0

             P = 0,2 Q + 12

           TR = (0,2 Q + 12)Q = 0,2 Q² + 12 Q

Pada Q = 4, MR = 0,4 (4) + 12 = 13,6.      Pada Q = 10, MR = 0,4 (10) + 12 = 16.

4.4.   Carilah fungsi MR untuk setiap fungsi-fungsi permintaan berikut dan hitunglah mereka pada Q = 4 dan Q = 10.

(a)  Q = 36 – 2P      (b)        44 – 4P – Q = 0

P = 18 - 0,5Q                                                    P = 11 - 0,25Q

TR = (18 – 0,5Q) Q = 18Q – 0,5Q²

TR = (11 – 0,25Q) Q = 11Q – 0,25Q²

                           

                                  

Pada Q = 4, MR = 18 - 4 = 14.                            Pada Q = 4, MR = 11 – 0,5(4) = 9.

Pada Q = 10, MR = 18 - 10 = 8.                          Pada Q = 10, MR = 11 – 0,5(10) = 6.

4.5   Untuk setiap fungsi konsumsi berikut, gunakan turunan untuk mencari kecenderungan marginal untuk mengonsumsi, MPC = dC/dY.

         (a) C = C₀ + bY                                                (b) C = 1500 + 0,75Y

                                                       

4.6    Diketahui C = 1200 + 0,8 Yd, dimana Yd = Y – T dan T = 100. Gunakan turunan untuk mencari MPC.

         Apabila C = f (Yd), buatlah C = f(Y) sebelum mencari turunannya. Jadi,

C = 1200 + 0,8(Y – 100) = 1120 + 0,8Y

         Perhatikan bahwa pemasukan pajak lump-sump ke dalam mocel penentuan penghasilan tidak mempengaruhi nilai MPC (atau multiplier).

4.7    Diketahui C = 200 + 0,9 Yd, dimana Yd = Y – T dan T = 300 + 0,2Y. Gunakan turunan untuk mencari MPC-nya.

C = 2000 + 0,89(Y – 300 – 0,2Y) = 2000 + 0,9Y – 270 – 0,18Y = 1730 + 0,72Y

         Pemasukan pajak proporsional ke dalam mocel penentuan penghasilan mempengaruhi nilai MPC dank arena itu mempengaruhi nilai multiplier.

4.8    Carilah fungsi biaya marginal untuk  setiap fungsi biaya rata-rata berikut.

         (a) AC = 1,5Q + 4 +

Apabila diketahui fungsi biaya rata-rata, fungsi biaya marginal ditentukan dengan terlebih dahulu mencari fungsi biaya total dan kemudian mencari turunannya, sebagai berikut.

(b)  AC =  + 5 - 3Q +

(c) AC =  – 0,1 – 0,5Q = 0

AC =  + 0,1 + 0,5Q

MENGOPTIMUMKAN FUNGSI VARIABEL TUNGGAL

4.9 Maksimumkan fungsi pendapatan total dan fungsi laba total, sebagai berikut : (1) Cari turunan pertama dan samakan dengan nol untuk mendapatkan nilai (nilai-nilai) kritis, (2) cari turunan kedua dan hitunglah turunan tersebut pada nilai kritis untuk melihat apakah fungsi tersebut berada pada minimum atau maksimum relatif dan (3) hitunglah fungsi asal pada nilai kritis yang dikehendaki.

      (a)       TR = 32Q – Q²

   (1)            = 32 – 2Q = 0

         Q = 16

   (2)            =  (32 – 2Q) = - 2 < 0

         Q = 16 memberikan suatu maksimum relatif

   (3) TR = 32Q – Q² = 32(16) – (16)² = 256

      (b)  = - Q² + 11Q – 24

            (1)  = -2Q + 11 = 0

                  Q = 5,5

            (2)  =  (-2Q + 11) = -2 < 0

                  Q = 5,5 memberikan suatu maksimum relatif

      (3)  = - Q² + 11Q – 24

                       = - (5,5)² + 11(5,5) – 24 = 6,25

(c)  

Pada Q = 13, d²p/dQ² = -2(13) + 16 = -10 < 0.

Pada Q = 3, d²p/dQ² = -2(3) + 16 = -+10 > 0

Jadi Q = 13 memenuhi persyaratan turunan kedua yang disyaratkan untuk suatu maksimum; Q = 3 ditolak karena memberikan suatu minimum relatif.

(d)  p = -Q³ + 48Q² – 180Q – 800

 

Pada Q = 2, d²p/dQ² = -6(2) + 96 = 84 > 0.

Pada Q = 30, d²p/dQ² = -6(30) + 96 = -84 < 0

Q = 30 memberikan suatu maksimum relatif

4.10 Minimumkan fungsi-fungsi biaya berikut, gunakan cara yang diterangkan dalam Soal 4.9

         (a) AC = 200 - 24Q + Q²

      Q = 12

       Q = 12 memberikan suatu minimum relatif

(3) AC = 200 – 24(12) + (12)² = 56

(b) TC = Q³ - 4,5Q² + 14Q + 22

Pada Q = 7, d²TC/dQ² = 2(7) - 9 = 5 > 0.

Pada Q = 2, d²TC/dQ² = 2 (2) - 9 = -5 < 0

Q = 7 memberikan suatu minimum relatif

      (c) TC = Q³ - 8,5Q² + 60Q + 27

At Q = 5, d²TC/dQ² = 2(5) - 17 = -7 < 0.

At Q = 12, d²TC/dQ² = 2 (12) - 17 = +7 < 0

Q = 12 memberikan suatu minimum relatif

4.11 Diketahui fungsi permintaan suatu perusahaan Q – 90 + 2P = 0 dan fungsi biaya rata-ratanya AC = Q² – 39,5Q + 120 + 125/Q, carilah tingkat output yang (a) memaksimumkan pendapatan total (b) meminimumkan biaya marginal dan (c) memaksimumkan laba.

         (a) Fungsi permintaan adalah Q = 90 + 2P = 0

Karena itu,

P = 45 – 0,5Q

TR = PQ = (45 – 0,5Q)Q = 45Q – 0,5Q²                              (4.1)

Untuk memaksimumkan TR,                                                           

Pengujian syarat turunan tingkat kedua, d²TR/dQ² = -1 < 0. Karena itu, pada Q = 45 TR adalah maksimum.

(b) Dari fungsi biaya rata-rata AC = Q² – 39,5Q + 120 + 125/Q,

TC = AC(Q) = (Q² – 39,5Q + 120 + 125/Q)Q = Q³ – 39,5Q + 120Q + 125        (4.2)                      

  Biaya marginal adalah minimum di mana

Pengujian syarat turunan kedua, d²MC/dQ² = 6 > 0. Karena itu, pada  , MC berada pada minimum relatif.

Dengan substitusi dari (4.1) dan (4.2),

p = 45Q – 0,5Q² – (Q² – 39,5Q² + 120Q + 125 = -Q² + 39Q² – 75Q – 125      (4.3)

Maksimisasi p,

Laba adalah maksimum pada Q = 25, di mana dari (4.3),

p = – (25)Q³ + 39(25)² – 75(25) – 125 = 6750

4.12 Sebuah perusahaan mempunyai fungsi permintaan 22 - 0,5Q - P = 0 dan fungsi biaya rata-rata AC = Q² – 8,5Q + 50 + 90/Q. Carilah tingkat output yang memaksimumkan (a) pendapatan total dan (b) laba total.

         (a) Dengan fungsi permintaan 22 - 0,5Q - P = 0

P = 22 – 0,5Q

TR = (22 – 0,5Q)Q = 22Q – 0,5Q²                             

TR adalah maksimum apabila,                                                        

Pengujian syarat turunan tingkat kedua, d²TR/dQ² = -1 < 0. Karena itu, pada Q = 22 TR adalah maksimum.

(b) p = TR – TC, di mana TR = 22Q – 0,5Q²

TC = AC(Q) =

Jadi, 

Memaksimisasi p,

(-Q + 14)(Q - 2) = 0

Q = 14                    Q = 2

Pengujian syarat turunan kedua,

Pada Q = 14, d²p/dQ² = -2(14) + 16 = -12 < 0. Pada Q = 2, d²p/dQ² = -2(2) + 16 = 12 > 0. 

                                                      

ELASTISITAS UMUM

4.20 Cari elastisitas harga permintaan untuk setiap fungsi berikut pada P = 3 dan P = 5

(a)  Q = 75 – 5P

 = -5

dan pada P = 3, Q = 75 – 5(3) = 60. Dengan subsitusi nilai-nilai ini dalam rumus elastisitas,

 =    

Kita peroleh                                           = -5 = -0,25

Pada P = 5, Q = 75 – 5(5) = 50. Dengan subsitusi nilai-nilai dalam rumus elastisitas, di mana dQ/dP tetap konstan pada -5,

 = -5 = -0,5

(b)  Q = 42 – 6P

 = -6

Pada P = 3,      Q = 75 – 6(3) = 24.

 = -6 = -0,75

Pada P = 5,     Q = 42 – 6(5) = 12

 = -6 = -2,5

(c)  8Q + 2P = 56

Karena Q = 7 – 0,25 P

 = -0,25

Pada P = 3,  Q = 7 – 0,25(3) = 6,25

 = -0,25 = -0,12

 Pada P = 5,  Q = 7 – 0,25(5) = 5,75

 = -0,25 = -  = -0,22