Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Perbedaan antara kedua jenis bilangan ini adalah bahwa bilangan nyata mengandung salah satu ”sifat” secara tegas yaitu : atau positif atau negatif, dan tidak kedua-duanya. Sedangkan bilangan khayal yang mengandung kedua sifat positif dan negatif sekaligus, disebut bilangan kompleks.
Contoh
bilangan nyata : 2;
-2; 1,1; -1,1
Contoh
bilangan khayal :
Pada dasarnya setiap bilangan, positif ataupun negatif, jika berpangkat genap akan selalu menghasilkan bilangan positif. Dengan demikian sukar sekali dibayangkan bagaimana hasil akhir dari suatu bilangan negatif yang berada di bawah tanda akar berpangkat genap. Oleh karenanya bilangan seperti itu dinamakan bilangan khayal.
Bilangan rasional adalah hasil bilangan antara dua
bilangan, yang berupa bilangan bulat; atau berupa pecahan dengan desimal
terbatas, atau desimal berulang. Sedangkan bilangan irrasional adalah hasil
bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak
berulang, termasuk bilangan r dan bilangan e. Bilangan bulat adalah hasil bagi
antara dua bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol). Bilangan pecahan
adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas
atau desimal berulang.
Berdasarkan pembatasan di atas, maka yang membedakan apakah sesuatu bilangan tergolong bilangan rasional ataukah bilangan irrasional ialah faktor ”keterbatasan” dan keberulangan” desimalnya. Adapun perbedaan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan (keduanya tergolong bilangan rasional) kiranya sudah cukup jelas, sehingga tidak perlu lagi diterangkan.
0,1402525 tergolong bilangan rasional
0,1492525393993999---- tergolong bilanganirrasional
0,149262626 tergolong bilangan rasional
Dengan menggunakan pendekatan teori himpunan,
pernyataan-pernyataan di bawah ini akan memperjelas pernggolong-golongan
bilangan tersebut.
- Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua rasional berupa bilangan bulat.
- Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan.
- Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.
Bilangan asli ialah semua bilangan bulat positif,
tidak termasuk nol. Seandainya himpunan bilangan asli kita lambangkan dengan
notasi A maka : A={1,2,3,4,5,.......................................... dan
seterusnya}.
Bilangan cacah ialah bilangan bulat positif
atau nol. Jika himpunan bilangan cacah kita lambangkan
dengan notasi C, maka :
C={0,1,2,3,4,5.......................................
dan setersnya}.
Bilangan prima ialah bilangan asli yang besarnya tidak sama
dengan satu dan hanya ”habis” (maksudnya bulat) dibagi oleh dirinya sendiri.
Jika himpunan bilangan prima dilambangkan dengan notasi P, maka :
P={2,3,5,7,11......................................
dan seterusnya}.
- Jika a ≤ b, maka - a ≥ -b
- Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x. a ≤ x.b
- Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x. a ≥ x.b
- Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b + d
- OPERASI BILANGAN
- Kaidah Komulatif
- Kaidah Asosiatif
- OPERASI TANDA
- Operasi Penjumlahan
- Jumlah dari dua bilangan positif ( + α) dan (+ b) adalah sebuah bilangan positif baru (+ c) yang nilainya lebih besar.
- Jumlah dari dua bilangan negatif (- α) dan (- b) adalah sebuah bilangan negatif baru (- c) yang nilainya lebih kecil.
- Jumlah dari bilangan positif (-α) dan bilangan negative (-b) adalah bilangan positif ( + c) jika harga mutlak α lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak α lebih kecil dari harga mutlak b.
- Jumlah dari bilangan negatif (-α) dan bilangan positif (+b) adalah bilangan positif (+c) jika harga mutlak α lebih kecil dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (-d) jika harga mutlak α lebih besar dari harga mutlak b.
- Operasi Pengurangan
- Selisih antara dua bilangan positif ( + α) dan ( + b) adalah bilangan poisitif ( + c) jika harga mutlak α lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negative (- d) jika harga mutlak α lebih kecil dari harga mutlak b.
- Selisih antara dua bilangan negatif (- a) dan (- b) adalah bilangan positif ( + c) jika harga mutlak α lebih kecil dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak α lebih besar dari harga mutlak b.
- Selisih antara bilangan positif (+α) dan bilangan negative (- b) adalah sebuah bilangan positif baru (+ c); hal ini identik dengan penjumlahan dua bilangan positif.
- Selisih antara bilangan negatif (- c) dan bilangan positif ( + b) adalah sebuah bilangan negatif baru (- c); hal ini identik dengan penjumlahan dua bilangan negatif.
- Operasi Perkalian
- Hasil kali antara dua bilangan positif ( + α) dan (+b), serta antara dua bilangan negatif (-α) dan (-b), adalah sebuah bilangan positif (+c)
- Hasil kali antara dua bilangan yang berlainan tanda ( + α) dan (- b), atau ( - α) dan (+ b), adalah sebuah bilangan negative (-c)
- Operasi Pembagian
- Hasil bagi antara dua bilangan positif (+ α) dan ( + b), serta antara dua bilangan negative (-α) dan (- b), adalah sebuah bilangan positif ( + c)
- Hasil bagi antara dua bilangan yang berlainan tanda (+α) dan ( - b), atau ( - α) dan ( + b), adalah sebuah bilangan negative (- c)
- OPERASI BILANGAN PECAHAN
- Operasi Pemadanan
- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
Sekarang marilah kita bahas bagaimana bilangan-bilangan yang
saling berhubungan satu sama lain secara relatif. Dalam hal ini kita akan
bekerja dengan empat macam tanda ketidaksamaan, yang secara sepintas
sebenarnya sudah kita temukan pada sub-sub 1.2 di muka. Tanda-tanda
ketidaksamaan yang dimaksud adalah sebagai berikut :
Tanda < melambangkan ”lebih kecil dari”
Tanda > melambangkan ”lebih besar dari”
Tanda ≤ melambangkan ”lebih kecil dari atau sama dengan”
Tanda ≥ melambangkan ”lebih besar dari atau sama dengan”
Bilangan-bilangan nyata mempunyai sifat-sifat hubungan
perbandingan sebagai berikut :
Sedangkan jika a ≥ b, maka -a ≤ - b
Sedangkan jika a ≥ b dan x ≥ 0 , maka x. a ≥
x.b
Sedangkan jika a ≥ b dan x ≤ 0 , maka x. a ≤
x.b
Sedangkan jika a ≥ b dan c ≥ d, maka a+ c ≥ b
+ d
Keberlakuan sifat-sifat di atas dapat dilihat dari
pembuktian pada contoh-contoh di bawah ini.
Untik sifat ke-1 :
Andaikan α = 4 dan b = 6, maka α <
b sebab 4 < 6 dan – α > -b
Sebab -4 > -6. Sedangkan
jika α = 8 dan b = 6, maka α > b
Sebab 8 > 6 dan – α < -b sebab -8 < -6;
Untik sifat ke-2 :
Andaikan α = 4 dan b = 6, serta x = 3, maka x. α
Sebab 3.4 = 2 < 3.6 = 18. Sedangkan jika α = 8 dan b= 6
serta x = 3, maka x. α > x.b sebab 3.8 = 24 > 3.6 = 18.
Untik sifat ke-3 :
Andaikan α = 4 dan b = 6, serta x = -3, maka x. α >x.b
Sebab (-3)4=-12>(-3)6 = -18. Sedangkan jika α = 8 dan b =
6
serta x = -3, maka x. Α < x.b sebab (-3) 8 = -24 <
(-3) 6 = -18.
Untik sifat ke-4 :
Andaikan α = 4 dan b = 6, serta x = -3, maka x. α >x.b
Sebab 4 + 5 = 9 < 6 + 7 = 13. Sedangkan jika α = 8 dan b
= 6 serta c = 5 dan d = 3, maka a + c > b + d sebab 8 + 5 = 13 > 6 + 3 =
9
Bilangan-bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah
tertentu apabila mereka dioperasikan. Operasi penjumlahan dan perkalian
bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah sebagai berikut :
Dalam menjumlahkan dua bilangan α dan b, perubahan urutan antara keduanya tidak
akan mengubah hasil penjumlahan.
α + b = b + α
|
4 + 6 = 6 + 4
Hal yang sama berlaku juga untuk perkalian,
perubahan urutan perkalian antara dua bilangan tidak akan mengubah hasilnya.
α x b = b x α
|
4 x 6 = 6 x 4
|
Dalam menjumlahkan tiga bilangan a, b dan c – atau
lebih – perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tersebut tidak akan
mengubah hasil penjumlahan.
(α + b) + c = α + (b + c)
|
(4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5)
|
Begitu pula dalam hal perkalian, perubahan cara
pengelompokan bilangan-bilangan tidak akan mengubah hasil perkalian.
(α x b) x c = α x (b x c)
|
(4 x 6) x 5 = 4 x (6 x b)
|
3. Kaidah Pembatalan
Jika jumlah α dan c sama dengan jumlah b dan c, maka
α sama dengan b; dengan perkataan lain :
Jika
|
c + c = b + c
|
maka
|
α = b
|
Jika hasil kali α dan c sama dengan hasil kali b dan
c, dimana c adalah bilangan nyata bukan nol, maka α sama dengan b jadi :
Jika
|
α c = bc (c ≠ 0)
|
maka
|
α = b
|
4. Kaidah Distributif
Dalam pengalian bilangan α terhadap jumlah (b + c),
hasil kalinya adalah sama dengan jumlah hasil kali α b dan hasil kali α c.
Dengan perkataan lain, hasil kali sebuah bilangan terhadap suatu penjumlahan
adalah sama dengan jumlah hasil kali – hasil kalinya.
α (b+c) = α b + α c
|
4 (6 + 5) = (4 x 6) + (4 x 5)
|
5. Unsur Penyama
Ringkasan dari buku " Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi", Dumairy
Materi Power Point.
Buka disini
Unsur penyama dalam penjumlahan (pengurangan) adalah
bilangan nol, sebab jumlah (selisih) antara suatu bilangan tertentu dan 0
adalah bilangan itu sendiri.
α ± 0 = α
|
4 ± 0 = 4
|
Unsur penyama dalam perkalian (pembagian) adalah
bilangan satu, sebab hasil kali (hasil bagi) antara suatu bilangan tertentu
dan 1 adalah bilangan itu sendiri.
|
|
Setiap bilangan nyata mempunyai sebuah balikan
penambah (additive inverse); jumlah antara bilangan tertentu dan balikan
penambahannya adalah sama dengan nol.
α + (-a) = 0
|
4 + (-4) = 0
|
Bilangan -4 disebut balikan penambahan dari 4 atau
negatif dari 4. Setiap bilangan nyata bukan – nol mempunyai sebuah balikan
pengali (multiplicative inverse); hasil kali bilangan tertentu terhadap
balikan pengalinya adalah sama dengan satu.
α x
= 1
|
4 x
= 1
|
Bilangan 1 disebut balikan pengali dari 4
Sampai sejauh ini, dalam pengoperasian bilangan kita baru
membahas bilangan-bilangan dengan satu macam tanda yakni positif. Sekarang
marilah kita bahas bagaimana pengoperasian bilangan-bilangan tersebut
berkenaan dengan tanda-tanda yang melekat padanya.
( + α) – ( +b) = ( + c)
|
( + 4) – ( +6 ) = ( 10)
|
( - α) – ( - b) = ( - c)
|
( - 4) + ( - 6 ) = ( 10)
|
( + α) + ( - b) = ( +
c) jika │ α│>│b│
|
( + 9)
+ ( - 6 ) = ( +3)
|
atau
( + α) + ( - b) = ( -
d) jika │ α│<│b│
|
( + 4)
+ ( - 6 ) = ( - 2)
|
( - α) + ( + b) = ( +
c) jika │ α│<│b│
|
( - 4)
+ ( + 6 ) = ( + 2)
|
atau
( - α) + ( + b) = ( -
d) jika │ α│>│b│
|
( - 9)
+ ( + 6 ) = ( - 3)
|
( + α) - ( + b) = ( +
c) jika │ α│>│b│
|
( + 9)
- ( + 6 ) = ( +3)
|
atau
( + α) - ( + b) = ( -
d) jika │ α│<│b│
|
( + 4)
- ( + 6 ) = ( - 2)
|
( - α) - ( - b) = ( +
c) jika │ α│<│b│
|
( - 4)
- ( - 6 ) = ( +2)
|
atau
( - α) - ( - b) = ( -
d) jika │ α│>│b│
|
( - 9)
- ( - 6 ) = ( - 3)
|
( + c) – ( - b) = ( + c)
|
( + 4) + ( - 6 ) = ( + 10)
|
( - α) – ( + b) = ( - c)
|
( - 4) - (+ 6 ) = (- 10)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bilangan pecahan ialah bilangan rasional yang
(benar dugaan anda !) tidak bulat atau tidak utuh. Berdasarkan
cara penulisannya, bilangan pecahan bisa dibedakan atas pecahan biasa dan
pecahan desimal. Pecahan biasa selalu menunjukkan bentuk pembagian antara dua
bilangan. Sebagai contoh, pecahan
menunjukkan bentuk pembagian 3 : 4, pecahan
menunjukkan bentuk pembagian 2 : 5. Setiap pecahan
biasa pada dasarnya dapat diubah bentuk menjadi pecahan desimal, yakni dengan
cara mengisikan atau mencantumkan angka-angka tertentu yang memenuhi di
belakang tanda koma. Jadi pecahan biasa
dapat dituliskan menjadi pecahan desimal 0,75,
sedangkan
menjadi 0,4.
Dalam suatu pecahan biasa terdapat dua macam suku,
yaitu suku terbagi (numerator) dan suku pembagi (denomenator). Suku terbagi
terletak di atas garis bagi, sedangkan suku pembagi terletak di bawahnya.
Dalam contoh
dan
tadi, angka 3 dan angka 2 masing-masingadalah suku
terbagi, sedangkan angka 4 dan angka 5 masing-masing adalah suku pembagi.
Berdasarkan nilai-nilai (maksudnya : harga mutlak)
dari suku-sukunya, pecahan baisa dibedakan menjadi tiga macam yaitu pecahan
layak, pecahan tak layak dan pecahan kompleks. Pecahan layak ialah pecahan
yang harga mutlak suku terbaginya lebih kecil dari harga mutlak suku
pembaginya, Apabil pecahan layak ini didesimalkan, angka di depan tanda koma
akan selalu berupa angka nol. Pecahan
dan
dalam contoh di atas merupakan contoh-contoh pecahan
layak. Sedangkan pecahan tak layak ialah pecahan yang harga mutlak suku
terbaginya sama dengan atau lebih besar dari harga mutlak suku pembaginya.
Jika ia didesimalkan, angka di depan tanda koma akan berupa angka bukan nol.
Contoh pecahan tak layak, misalnya
dan
- yang bila didesimalkan masing-masing akan menjadi
1,0; 1,75; -2,25 dan 3,2.
Adapun pecahan kompleks ialah pecahan yang pada
salah satu atau kedua-dua sakunya terdapat satu pecahan atau lebih. Jadi jika
pada suku terbagi (ataupun pada suku pembagi, atau bahkan pada kedua suku
tersebut) masih terdapat lagi satu atau beberapa pecahan, maka pecahan
demikian dinamakan pecahan kompleks. Dari beberapa contoh yang disajikan di
bawah akan terlihat kompleksitas pecahan seperti ini, pada suku terbagi
terdapat suku pembagi, sementara pada suku pembagi terdapat suku terbagi.
Ringkas kata, pecahan kompleks ialah pecahan yang mengandung pecahan. Dalam
penulisan sebuah pecahan kompleks, garis bagi yang memisahkan antara suku
terbagi utama dan suku pembagi utama harus dibuat lebih panjang dari garis
bagi lainnya.
(a)
(b)
(c)
(d)
Pecahan kompeks pada akhirnya akan mengarah ke
salah satu bentuk : menjadi pecahan layak atau menjadi pecahan tak-layak.
Apabila kita selesaikan atau sederhanakan, pecahan kompleks (a) dan (c) dalam
contoh di atas akan menjadi pecahan layak, sedangkan pecahan kompleks (b) dan
(d) tak lain adalah pecahan tak-layak.
Apabila sebuah bilangan terdiri dari sebuah
bilangan bulat dan sebuah pecahan, ia dinamakan bilangan campuran. Angka
atau 2,75 adalah sebuah bilangan campuran sebab
adalah sama dengan 2 +
; atau di lain pihak 2,75 adalah sama dengan 2 +
0,75. Pecahan tak layak pada hakekatnya adalah bilangan campuran, karena ia
dapat diuraikan menjadi sebuah bilangan bulat dan sebuah pecahan bahkan dapat
berubah menjadi sebuah bilangan bulat saja. Itulah sebabnya ia dijuluki
sebagai pecahan tak layak, karena ia tidak murni sebagai sebuah pecahan.
Setelah membahas secara panjang lebar berbagai
jenis dan pengertian bilangan pecahan, kini marilah kita pahami
prinsip-prinsip pengoperasiannya dalam hal ini pengoperasian pecahan biasa.
Suku-suku dalam sebuah pecahan dapat diperbesar
atau diperkecil tanpa mengubah nilai pecahannya, sepanjang keduanya (suku
terbagi dan suku pembagi) dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Secara umum :
|
|
Contoh memperbesar pecahan :
Pecahan-pecahan
adalah sepadan
Pembesaran padanan
dapat dilakukan secara tak terbatas.
Contoh memperkecil pecahan
Pecahan-pecahan
adalah sepadan
Berdasarkan kedua contoh di atas, dapat disimpulkan
: pembesaran pecahan bersifat tak terbatas, sedangkan pengecilan pecahan
bersifat terbatas. Kita dapat memperbesar sebuah pecahan sekehendak kita. Akan
tetapi kita hanya dapat memperkecil sebuah pecahan sampai pada bentuk
tersederhana atau sampai pada suku-suku terkecil, yakni jika kedua suku pada
pecahan bersangkutan tidak lagi mempunyai pembagi bersama.
Dalam contoh memperkecil pecahan di atas, 2
merupakan pembagi bersama atas 24 dan 30, sedangkan 3 merupakan pembagi
bersama atas 12 dan 15, akan akan tetapi tidak terdapat pembagi bersama atas 4
dan 5. Berarti 4 dan 5 merupakan suku-suku terkecil dari pecahan
. Sesudah mencapai bentuk
Kita tidak lagi dapat memperkecilnya. Jadi, pecahan
adalah bentuk tersederhana dari pecahan
. (Perlu dicatat : Pengertian “terbatas dalam
memperkecil pecahan” disini maksudnya adalah “terbatas sampai pecahan
bersangkutan tidak menjadi pecahan kompleks” ! .) Kesimpulannya : jika sebuah
pecahan sudah mencapai bentuk tersederhana, maka ia tak lagi dapat diperkecil;
sebaliknya jika sebuah pecahan tak lagi dapat diperkecil, berarti ia sudah
mencapai bentuk tersederhana.
Dua buah pecahan atau lebih hanya dapat ditambahkan
dan dikurangkan apabila mereka memiliki suku-suku pembagi yang sama atau
sejenis. Berarti jika suku-suku pembaginya belum sama, terlebih dahulu harus
disamakan sebelum pecahan-pecahan tersebut ditambahkan atau dikurangkan. Dalam
menyamakan suku-suku pembaginya, diusahakan pecahan-pecahan tadi mempunyai
suku pembagi bersama terkecil (spbt).
Contoh :
1)
2)
3)
4)
Angka 4 dalam contoh 3) dan 4) di atas adalah
spbt
Dalam hal pecahan-pecahan yang hendak dijumlahkan
atau dikurangkan tidak memiliki spbt, hasil kali antara suku-suku pembaginya
merupakan spbt.
5)
spbt-nya adalah α x b
6)
spbt-nya adalah 8 x 3
Penjumlahan (pengurangan) bilangan-bilangan
campuran dapat dilakukan dengan cara menambahkan (mengurangkan)
bilangan-bilangan bulatnya dulu, kemudian menambahkan (mengurangkan) pecahan
dengan pecahannya. Jadi tidak harus dengan mengubah bilangan-bilangan campuran
tersebut menjadi pecahan tak layak terlebih dahulu
7)
Alternatifnya :
Perkalian antar pecahan dilakukan dengan cara
mengalikan suku-suku sejenis, suku terbagi dikalikan suku terbagi dan suku
pembagi dikalikan suku pembagi. Perkalian yang mengandung bilangan campuran
dilakukan dengan cara mengubahnya terlebih dahulu menjadi pecahan tak-layak
sebelum dikalikan.
Contoh :
1)
2)
3)
Pembagian antar pecahan dapat dilakukan dengan 3
macam cara. Cara pertama merupakan cara yang paling popular, paling sering
dipraktekkan.
Cara 1
Kalikan pecahan terbagi (pecahan yang akan dibagi) dengan kebalikan
dari pecahan pembagi.
Contoh :
Cara 2
Ubah terlebih dahulu pecahan terbagi dan pecahan pembagi sehingga
keduanya mempunyai suku pembagi bersama terkecil
(spbt), batalkan spbt tersebut dan kemudian bagilah suku-suku terbagi yang
tersisa.
Contoh :
Bilangan 8 merupakan spbt
Cara 3 Kalikan
terlebih dahulu kedua pecahan dengan spbt-nya, selesaikan
atau sederhanakan masing-masing pecahan dan kemudian baru
dibagi.
Contoh :
Ringkasan dari buku " Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi", Dumairy
Materi Power Point.
Buka disini
0 komentar:
Posting Komentar