Matematika Bisnis (Diferensial Fungsi Sederhana)

Fungsi Turunan (differensial)
Turunan atau dalam matematika ekonomi lebih dikenal dengan differensial merupakan suatu fungsi yang menggunakan beberapa rumus yang diawali dengan turunan pertamanya, yang digambarkan dengan fungsi sebagai berikut :
y     =     f(x)
dy / dx  = y’ = f’(x)
Untuk menerapkan fungsi turunan di atas ke dalam mikro ekonomi, maka fungsi tersebut dikembangkan ke dalam beberapa rumus-rumus differensial sebagai beberapa contoh di bawah ini :

1. 1.      Turunan Fungsi

Jika c dan n adalah anggota bilangan real, sebagaimana persamaan berikut :
y = cx²
dy / dx = c . n . x ^n-1

Contoh :
a. y = x⁵
dy / dx = 5 x ⁴
b. y = x
dy / dx = 1

1. 2.      Turunan suatu konstanta

Jika suatu konstanta diturunkan maka sama dengan nol (0).
y = c
dy / dx = 0

1. 3.      Turunan suatu jumlah

Jika y = u + v dimana u = f(x) dan v = g (x) maka
y = u + v
d (u + v) / dx = u’ + v’
Contoh :
a. y = x³ + x ^-1/2 + 3
dy / dx = 3x² -1/2 x ^-3/2
b. y = 8x³ + 2x
dy / dx = 24x² + 2

1. 4.      Turunan suatu hasil kali

Jika y = u . v di mana u = f(x) dan v = g(x) maka dy / dx = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x) atau u’v + uv’
Jadi,
y = u . v
dy / dx = uv’ + vu’
Contoh :
y = (x + 2) (2u + 1)
y = 4x + 5

1. 5.      Turunan hasil bagi

Jika y = f(x) / g(x) maka dy / dx = (f’(x) . g(x) – f(x) . g’(x)) / (g(x))²   atau
y = u / v
dy / dx = vu’ – uv’ / v²
Contoh :
y = (2x² + x) / (x³ + 3)
dy / dx = (x³ + 3)(4x + 1)-(2x² + 1)(3x²) / (x³ +3)²
dy / dx = -2x⁴ – 2x³ + 12x +3 / (x³ + 3²)²

1. 6.      Turunan berantai

Jika y = (f(x))ⁿ maka dy / dx = n . (f(x))^n-1 . f(x)
Contoh :
y = (x² + 3x + 1)³
f(x) = (x² + 3x + 1) maka f’(x) = 2x + 3
dy / dx = (x² + 3x + 1)³ . (2x + 3)
atau gunakan rumus berikut ini,
y = f(u)
dy / dx = dy / du . du / dx
Contoh :
y = (x² + 3)³
Misalnya, u = x² + 3, maka
du / dx = 2x
y = u³
dy / du = 3u²
Jadi, dy / dx = 3u²(2x)
dy / dx = 3(x² + 3)²(2x)
Fungsi turunan juga dapat dikembangkan menjadi beberapa rumus yang lain diantaranya sebagai berikut :
-         Fungsi Logaritma Biasa

1. y = log x

dy / dx = 1/x log e

1. y = log u

dy / dx = 1/u log e . du / dx
Catatan :
10 log e = 1/e log 10 = 1/ln10
Contoh :
y = log 8x
y = log 8 + log x
dy / dx = 0 + 1/x log e = 1/x log e

1. d(log u) = 1/u log e du / dx

Contoh :
y = 3 log (4x + 1)²
dy / dx = log 3 + 2 log (4x + 1)
-         Fungsi Logaritma Natural

1. y = ln x

dy / dx = 1/x ln e
Catatan :
ln e = ^e log e = 1
Contoh :
y = ln x³
y = ³ ln x
dy / dx = 3 . 1/x ln e
dy / dx = 3/x

1. y = ln u

dy / dx = 1/x . du / dx
Contoh :
y = ln (4x-3)
dy / dx = 1/(4x-3) . 4
dy / dx = 4/(4x-3)
-         Fungsi Eksponen
Differensial log, jika diketahui y = x^x maka fungsi tersebut di ubah terlebih dahulu dalam bentuk log.
ln y = x ln x
1/y . dy / dx + x. 1/x + ln x . 1
1/y . dy / dx = 1 + ln x
dy / dx = x ^{x(1+ln x)}
-         Turunan Pembagian Suatu Konstanta dengan Fungsi
Misalnya,
y = c / v , dimana v = h(x)
dy / dx = (-c . dv / dx)/v² 
-         Turunan Kedua
Turunan kedua dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertamanya yang dikonotasikan sebagai berikut :
d²y / (dx)² atau y”
Contoh :
Diketahui y = 2x⁵
y’ = 2 . 5x ^5-1
= 10 x⁴ 
y” = 10 . 4x ^4-1 
= 40 x ³  
Penerapan Fungsi Turunan dalam Mikro Ekonomi

1. 1.      Biaya Marginal (Marginal Cost atau MC)

MC adalah tingkat perubahan biaya total yang diakibatkan oleh tambahan produksi satu unit.
MC adalah turunan pertama dari biaya total (Total Cost) = TC.
MC = TC’ = dTC / dQ
Contoh :
C = 4 + 2Q + Q² 
MC = …
Jawab :
MC = C’
= 2 + 2Q
Maka, TC minimum tercapai pada saat MC = 0 dan MC minimum tercapai pada saat MC’ = 0.

1. 2.      Penerimaan Marginal (Marginal Revenue = MR)

MR adalah pertambahan penerimaan yang diakibatkan penambahan penjualan satu unit barang.
MR adalah turunan pertama dari total penerimaan (TR) dimana TR = P . Q
MR = TR’ = dTR / dQ
TR maksimum pada saat MR = 0
Contoh soal :
Fungsi permintaan D = P = -3Q² + 27, hitunglah fungsi penerimaan dari MR.
TR = P . Q
= (-3Q² + 27)Q
= -3Q³ + 27Q
MR = -9Q² + 27

1. 3.      Produk Marginal (Marginal Product = MP)

MP adalah produk tambahan yang dihasilkan (output) akibat penambahan satu unit faktor produksi yang digunakan (input).
MP merupakan turunan pertama dari fungsi produk total (P).
MP = P’ = dP / dx
x = jumlah input
MP maksimum tercapai pada saat Q mengalami titik belok dan P mengalami titik P” = 0.
P maksimum pada saat MP = 0.
Contoh soal :
P = f (x)
= 9x² – x³
Jadi, MP = 18x – 3x²
P maksimum, MP = 0
0 = 18x – 3x²
0 = 3x(6-x)
x = 6
P maksimum = 9 (6)² – (6)³ = 108

1. 4.      Kegunaan Marginal (Utility Marginal = MU)

MU adalah manfaat/kepuasan tambahan yang diperoleh konsumen akibat penambahan satu unit barang yang dikonsumsi.
MU merupakan turunan pertama dari fungsi kegunaan (U).
U = f(Q)
MU = U’ = dU / dQ
U maksimum pada saat MU = 0
Contoh :
U = f(Q)
= 90Q – 5Q²
MU = 90 – 10Q
U maksimum, MU = 0
0 = 90 – 10Q
Q = 9
U = 90Q – 5Q² 
= 90 (9) – 5 (9)² 
= 810 – 405
= 405

1. 5.      Analisis Laba Maksimum

Keuntungan (π) adalah perbedaan (selisih) antara TR (hasil Penjualan) dengan TC (biaya total).
π = TR – TC
Syarat π maksimum yaitu :

1. π’ = 0, turunan pertama dari π = 0 atau MR = MC.
2. π” < 0 atau MR’ < MC’.