Materi Himpunan (2)

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Contoh :
1. Kumpulan kata penyusun "MATEMATIKA"
Kata penyusun "MATEMATIKA" sudah jelas, yaitu {M,A,T, E , I, K}

2. Siswa itu pandai
Siswa itu pandai belum jelas, artinya tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Siapakah yang pandai? Kita tidak tahu, Pandainya dalam bidang apa? Kita juga tahu, karena pandai itu relatif.

B. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
1. Suatu kalimat
2. Notasi pembentuk himpunan
3. Mendaftar keanggotaan

Contoh :
A adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009.

Dengan suatu kalimat :
-> A = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

Dengan notasi pembentuk himpunan :
-> A = {x | x = tokoh - tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

Dengan mendaftar keanggotaan :
-> A = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Gusdur, Megawati, SBY }

C. Anggota Himpunan

Setiap benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, dituliskan dengan lambang " ", sedangkan untuk menyatakan suatu objek yang bukan merupakan anggota himpunan ditulis dengan lambang "".


Contoh :
A = {3,4,5}
3 A
4 A
5 A
6 A

n(A) = 3
n(A) merupakan banyaknya anggota himpunan dalam A.

D. Himpunan Bagian

 Perhatikan Himpunan-himpunan berikut:
A = {Himpunan hewan}
B = {Himpunan hewan berkaki empat}
C = {Himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut :
A = {Kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}

Jika kita perhatikan, setiap anggota B merupakan anggota himpunan A, ditulis B A, dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A B, karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A B.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2, yaitu {a} dan
A = {a,b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a}, {b}, {a,b} dan  
Jika kita perhatikan banyak himpunan bagian dari himpunan A diperoleh pernyataan sebagai berikut :

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n dan banyaknya himpunan bagian dari A adalah N, berlaku rumus :

N = 2ⁿ

Contoh :
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A  = {1,2,3,4}
Jawab :
n(A) = 4
Jadi, N = 2⁴ = 16

E. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan atau {}.

Contoh :
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan H.
Jawab :
H = atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari  pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan dengan S atau U.

Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya :
a. S = R = {3,5,7}
b. S = {Bilangan ganjil}
c. S = {Bilangan cacah}
d. S = {Bilangan prima}

F. Diagram Venn

Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar  Matematika Inggris pada tahun 1834 - 1923 bernama John Venn.

Dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu :
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiti atas persegi panjang.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan. 

Contoh :
Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {4,5}, dan R = {1,3,6}

Jawab :



Diagram untuk himpunan S,A,R adalah seperti pada gambar disamping. Anggota A dan Anggota R tidak ada yang sama, maka diagram A dan R terpisah.

G. Irisan dan Gabungan Dua Himpunan

Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. Sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q, ditulis PQ = {3,4}

Contoh :
A = {bilangan asli kurang dari 6}
B = {2,4,6}

1. Tentukan A B
2. Lukiskan dengan diagram Venn

Jawab :
1. A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6}
AB = {2,4}

2.


Gabungan dari dua himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan "".
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P Q = {1,2,3,4,5,6}

H. Komplemen
Misalkan :
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4}

Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan ditulis Q^c , dibaca komplemen Q atau bukan Q

 Contoh soal himpunan serta pembahasannya :

1. Diberikan P = { 1, 2, 3, 9, 12, 13 }. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah …
A{ 9 }                  C. { 3, 9 12 }
B{ 3, 9 }               D. { 3, 6, 9, 12 }
Pembahasan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda ( objek ) yang telah terdefinisi dengan jelas. Dari soal diatas, himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah { 3, 9, 12 }
Kunci Jawaban: C


 2. P ∩ Q adalah ….
A. {1,2,3,…,8}
B. {1,2,3,4,5,6}
C. {2,3,4,6}
D. {1,5}
Pembahasan
Dari diagram Venn dapat dilihat bahwa:
P = {1, 3, 4, 5},
Q = {1, 2, 5, 6}
P ∩ Q = {1,5}
Jawaban: D


3. Dalam sebuah kelas terdapat 17 orang siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa dalam kelas adalah . . .
16 siswa
24 siswa
32 siswa
40 siswa
Pembahasan
n ( M ) = 17 orang
n ( F ) = 15 Oorang
n ( M ∩ F ) = 8 orang
n ( M ∪ F ) = n ( M ) + n ( F ) – n ( M ∩ F )
= 17 + 15 – 8
= 32 – 8
= 24 orang
Jawaban B