Turunan (5) Kumpulan Soal dan Pembahasan (3)
Contoh soal fungsi turunan beserta jawaban
1.Diketahui
f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...
Penyelesaian
:
f(x) = 2x3 +3x-4
f’(x) = 2 . 3x3-1
+ 3 . 1x 1-1 -0
f’(x) = 6x2 + 3
2.Diketahui
f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan
nilai f’(x) adalah....
Penyelesaian
:
f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12
f’(x) = 15x2+ 4x +6
f’(3) = 15 . 32 +4 . 3 + 6
=
135 + 12 + 6
=
153
3.Diketahui
fungsi f(x) = 3x4 + 2x3 - x + 2 dan f’(x) adalah
turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah...
Penyelesaian
:
f (x) = 3x4 + 2x3
– x + 2
f’ (x) = 12x 3 + 6x2
– 2
f’(1) = 12 + 6 + 2
= 18 – 2
=16
4.Diketahui
fungsi f(x) = x5 +10x4 +5x2 -3x-10 dan f’
adalah turunan pertama dari f. Nilai f’ (1) adalah....
Penyelesaian
:
f(x) = x5 +10x4
+5x2-3x-10
f’(x) = 5x4 + 40x3
+ 10x-3-10
f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 −
10
= 5 + 40 +10 – 3 – 10
= 42
5.Turunan
pertama fungsi f(x) =(3x 2-5)4 adalah f’(x)
=....
Penyelesaian :
f(x)
=(3x 2-5)4
f’(x) = (6x – 5 )4
6.Diketahui
f(x) = x6 + 12x4 +2x2 – 6x + 8.Dan f’(x)
adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah....
Penyelesaian:
f(x) = x6 + 12x4
+2x2 – 6x + 8
f’(x)=
6x5 + 48x3 – 6 + 8
f’(1)=
6.1 + 48.1 – 6 + 8
= 6 + 48 – 6 + 8
= 56
7.Turunan
pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x).Nilai
f’(1) adalah....
Penyelesaian:
f(x) = 2x3 + 3x2
– x + 2
f’(x) = 6x2 + 6x – 1 + 2
f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2
= 6 + 6 – 1 +2
= 13
8.Diketahui
f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x)
adalah turunan pertama dari f(x).Nilai f’(1) adalah…
Penyelesaian:
f(x) = 6x4 – 2x3
+ 3x2 – x – 3
f’(x) = 24x3 – 6x2
+ 6x – 1 – 3
f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1
-3
= 24 – 6 + 6 -1 -3
= 20
9.Diketahui
y = 3x4 -2x5 – 1/2x6 -51-3.Tentukan
turunannya…
Penyelesaian :
y’=12x4-1 – 2. 5x5
-1 – 1/2 .6x6-1 – 5.1x 1-1 - 0
= 12x3 -10x4
-3x5 -5
0.Diketahui
f(x) = (x – 2)2.Tentukan turunanya…
Penyelesaian
:
f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
f(x) = x2 – 4x + 4
f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0
f’(x) = 2x – 4
11.Jika f(x)
= sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = …f(x) = sin2
(2x + π/6)
Pembahasan:
f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2)
= 4 sin (2x + π/6)
f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6)
= 4 sin (π/6)
= 4(1/2)
= 2
12. Turunan
pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = …
Penyelesaian:
f(x) = sin3(3x2 – 2)
f’(x) = sin(3-1)(3x2
– 2).3.6x.cos (3x2 – 2)
= 18x sin2(3x2
– 2) cos (3x2 – 2)
13. Turunan dari f(x) = ![\sqrt[3]{cos^2(3x^2+5x)}](file:///C:/DOCUME%7E1/user/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif)
adalah
f‘(x) = …
adalah
f‘(x) = …
PEMBAHASAN :
f(x) =
= (cos2(3x2 + 5x))1/3
= cos2/3(3x2 + 5x)
f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2
+ 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5)
= -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2
+ 5x)
14. Turunan pertama f(x) = cos3
x adalah …
PEMBAHASAN :
f(x) = cos3 x
f’(x) = 3 cos2 x (-sin x)
= -3 cos2 x sin x
= -3/2 cos x (2 cos x sin x)
= -3/2 cos x sin 2x
15. Persamaan garis singgung kurva
y = ![\sqrt[3]{5+x}](file:///C:/DOCUME%7E1/user/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif)
di titik
dengan absis 3 adalah…
di titik
dengan absis 3 adalah…
PEMBAHASAN :
y = = (5 + x)1/3
= (5 + x)1/3
m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1)
y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1)
= 1/3 ((8)2/3)-1
= 1/3 (4)-1
= 1/12
16. Suatu pekerjaan dapat
diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya
minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …
PEMBAHASAN
:
Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 +
2000/x
Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 +
2000/x)x
f(x) = 4x2 – 160x + 2000
Agar biaya minimum :
f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 160
0 = 8x – 160
8x
= 160
x = 20 hari
Jadi biaya minimum per hari adalah
= (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah
= (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah
= (80 – 160 + 100) ribu rupiah
= 20 ribu rupiah
= 20.000
17. Suatu
perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan
biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka
produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.
PEMBAHASAN :
Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 +
120/x
Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 +
120/x)x
f(x) = 4x2 – 800x + 120
Agar biaya minimum :
f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 800
0
= 8x – 800
8x
= 800
x
= 100 jam
17. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t)
= 
(s dalam meter
dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.
(s dalam meter
dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.
PEMBAHASAN :
s = f(t) = = (3t + 1)1/2
= (3t + 1)1/2
v = 
= f’(t) = 1/2
(3t + 1)-1/2 (3)
= f’(t) = 1/2
(3t + 1)-1/2 (3)
f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2
= 3/2 (24 + 1)-1/2
= 3/2 (251/2)-1
= 3/2 (5)-1
= 3/10
18. Suatu
perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan
keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai
maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …
PEMBAHASAN
:
Keuntungan
setiap barang : 225x – x2
Keuntungan
x barang : (225x – x2)x
f(x)
= 225x2 – x3
f’(x)
= 450x – 3x2
0 = 450x – 3x2
0 = x(450 – 3x)
x = 0 atau x = 150
jadi
jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang.
19. y
=(akar)2x^5
JAWAB:
y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’=
5/2 √2 x^(3/2)
y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5
y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11
y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5
y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5
y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2)
y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5
y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11
y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5
y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5
y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2)
20. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4
JAWAB:
4xy.dx + 2x^2.dy
-12y^2.dy=0
4xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0
dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2)
d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2
4xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0
dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2)
d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2
Sumber: Klik disini
