CARA MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

Kita telah mengetahui bahwa aturan fungsi bagi suatu fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = f(x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0. Grafik fungsi tersebut berbentuk suatu kurva yang dinamakan parabola, sehingga y = f(x) = ax² + bx + c disebut juga persamaan parabola. Apabila nilai a, b, dan c diketahui, tentu kita dapat menentukan koordinat titik ekstrim, titik potong dengan sumbu y, titik potong dengan sumbu x (apabila ada), persamaan sumbu simetri, dan nilai ekstrim.

Kali ini akan diajarkan kebalikannya. Dengan diketahui beberapa ciri dari parabola tersebut, kita diminta menuliskan persamaan parabolanya/menentukan fungsi kuadratnya. Tentu tidak ada “satu rumus dipakai untuk setiap persoalan”. Mengenai cara apa yang digunakan atau rumus apa yang dipakai tergantung dari apa yang diketahui.

Jika diketahui koordinat titik balik dan satu titik yang dilalui parabola

Jika diketahui koordinat titik balik parabola adalah (p,q) dan parabola tersebut melalui (x₁,y₁) dengan p ≠ x₁ dan q ≠ y₁ maka persamaan parabola tersebut dapat dinyatakan sebagai:

……………………………………………………. (1)

Contoh 1:

Suatu parabola memiliki puncak berkoordinat (3,7) dan melalui (5,2). Tentukan persamaan parabola tersebut.

Jawab:

Pada rumus (1), substitusikan p = 3, q = 7, x₁ = 5 dan y₁ = 2, diperoleh:

Jika diketahui koordinat titik potong dengan sumbu x dan koordinat titik selain titik potong tersebut

Jika diketahui parabola memotong sumbu x di (x₁,0) dan (x₂,0) dan parabola tersebut melalui (x₀,y₀) dengan x₀ ≠ x₁ dan x₀ ≠ x₂ maka persamaan parabola tersebut dapat dinyatakan sebagai:

……………………………………………………….. (2)

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui (1,-3) serta memotong sumbu x di titik-titik yang berkoordinat (-2,0) dan (6,0).

Jawab:

Pada rumus (2), substitusikan x₁ = -2, x₂ = 6, x₀ = 1, dan y₀ = -3 sehingga diperoleh:

Contoh 3:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui (-2,5) serta menyinggung sumbu x di titik yang berkoordinat (1,0).

Jawab:

Pada contoh ini dapat disimpulkan bahwa parabola berpotongan dengan sumbu x hanya di satu titik, yaitu di (1,0). Jadi dalam hal ini x₁ = x₂ = 1, x₀ = -2 dan y₀ = 5. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (2), diperoleh:

Jika diketahui tiga buah titik berbeda yang dilalui parabola

Dalam situasi seperti ini, pencarian diawali dengan memisalkan bahwa persamaan parabola tersebut adalah y = ax² + bx + c dengan a ≠ 0. Kemudian substitusikan absis dan ordinat dari setiap koordinat titik-titik yang dilalui parabola. Mencari a, b, dan c dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linier yang terbentuk dari substitusi-substitusi tersebut.

Contoh 4:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik A(1,1), B(-2,10), dan C(-1,3).

Jawab:

Misalkan persamaan parabola itu adalah y = ax² + bx + c dengan a ≠ 0. Substitusikan absis dan ordinat dari A, B, dan C sebagai berikut.

Titik A: 1 = a.1² + b.1 + c            ⇔     a + b + c = 1   …………………………. (*)

Titik B: 10 = a.(-2)² + b.(-2) + c     ⇔     4a – 2b + c = 10   ……………………….. (**)

Titik C: 3 = a.(-1)² + b.(-1) + c      ⇔      a – b + c = 3   …………………………… (***)

Dengan teknik-teknik penyelesaian sistem persamaan linier nilai a, b, dan c yang secara simultan memenuhi (*), (**), dan (***) adalah: a = 2, b = -1, dan c = 0 sehingga fungsi kuadrat yang diminta memiliki persamaan y = 2x² – x.