Fungsi Kuadrat (Bentuk Umum dan Cara Menggambar Grafiknya)

Dalam matematika, jenis-jenis fungsi ada tujuh macam, dua di antaranya adalah fungsi linear dan fungsi kuadrat. Fungsi linear atau fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variabel x merupakan suatu bentuk fungsi f(x) = ax + b dimana a, b ∈ R  dan a ≠ 0 untuk semua x dalam daerah asalnya. Bentuk grafik fungsi linear dalam bidang Cartesian adalah berupa garis lurus. Lalu bagaimana dengan bentuk umum dan grafik fungsi kuadrat? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan kalian pelajari artikel ini dengan seksama.

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Untuk memahami definisi atau pengertian fungsi kuadrat serta bentuk umumnya, perhatikan beberapa contoh fungsi berikut ini.

•f(x) = x2 – 1

•f(x) = 2x2 – 6x

•f(x) = x2 – 4x + 8

•f(x) = –3x2 + 4x – 9

Dari keempat contoh fungsi di atas, pangkat tertinggi variabel x pada tiap-tiap fungsi sama dengan dua. Fungsi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam variabel x. Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f(x) = ax2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam variabel x. Fungsi kuadrat ini disebut juga fungsi polinom (suku banyak) berderajat dua dalam peubah x.

Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax + bx + c dan bentuk grafik fungsi kuadrat adalah kurva parabola. Bentuk kurva parabola dari fungsi kuadrat sangat bervariasi, ada yang berbentuk parabola terbuka ke atas, parabola terbuka ke bawah, parabola yang memotong sumbu-X , parabola yang tidak memotong sumbu-X, ada yang melewati sumbu-Y positif dan sebagainya.

Perbedaan bentuk grafik fungsi kuadrat tersebut dipengaruhi oleh nilai Diskriminan (D) dan nilai konstantan c serta nilai koefisien a variable x2dari fungsi kuadrat tersebut. Untuk lebih memahami macam-macam bentuk grafik fungsi kuadrat serta karakteristiknya, perhatikan penjelasan berikut ini.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum

Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat ini adalah sebuah kurva parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Sketsa grafik fungsi kuadrat tersebut, secara umum dapat dilukiskan dengan cara menentukan beberapa hal berikut ini terlebih dahulu.

a)Titik potong dengan sumbu-X

b)Titik potong dengan sumbu-Y

c)Titik puncak atau titik balik parabola

d)Persamaan sumbu simetri

#1 Titik Potong dengan sumbu-X

Titik potong dengan sumbu-X dapat ditentukan jika ordinat y = 0, sehingga ax2 + bx + c = 0 yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat tersebut merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu-X. Dari akar-akar persamaan kuadrat ini kita dapat mengidentifikasi bentuk kurva parobala apakah memotong sumbu-X, menyinggung sumbu-X atau bahkan tidak memotong sumbu-X sama sekali. Perhatikan macam-macam gambar grafik fungsi kuadrat berikut ini.

Tanpa mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat dengan mudah menentukan karakteristik atau sifat kurva parabola terhadap sumbu-X menggunakan nilai diskriminan (D). Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu D = b2 – 4ac. Rumus diskriminan ini menentukan banyaknya titik potong terhadap sumbu-X.

a)Jika b2 – 4ac > 0 atau D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 dan 2 di atas.

b)Jika b2 – 4ac = 0 atau D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu-X di dua titik yang berhimpit. Dengan kata lain grafik fungsi f  dikatakan menyinggung sumbu-X. Perhatikan gambar 3 dan 4 di atas.

c)Jika b2 – 4ac < 0 atau D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong ataupun menyinggung sumbu-X sama sekali seperti yang diperlihatkan pada gambar 5 dan 6 di atas.

#2 Titik Potong dengan sumbu-Y

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh apabila absis x = 0, sehingga dengan memasukan nilai x = 0 ke persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c kita peroleh hasil sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c

y = a(0)2 + b(0) + c

y = c

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, c). Dengan demikian, nilai konstanta c ini menentukan sifat kurva parabola terhadap sumbu-Y. coba kalian perhatikan jenis-jenis gambar kurva parabola berikut ini.

a)Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu-Y di atas titik asal O atau memotong sumbu-Y positif. Perhatikan gambar 1 dan 2 di atas.

b)Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu-Y tepat di titik asal O seperti yang ditunjukkan pada gambar 3 dan 4 di atas.

c)Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu-Y di bawah titik asal O atau memotong sumbu-Y negatif. Perhatikan gambar 5 dan 6.

#3 Titik Puncak atau Titik Balik Parabola

Titik puncak atau titik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk memahami konsep ini, mari kita tinjau persamaan parabola berikut ini.

y = ax2 + bx + c

y = a(x2 + b/a x) + c

y = a(x2 + b/a x + b2/4a2) – b2/4a2 + c

y = a(x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/4a

untuk a > 0

Bentuk a(x + b/2a)2 selalu positif atau sama dengan nol untuk semua x ∈ R. Jika a(x + b/2a)2 = 0 maka nilai tersebut merupakan nilai terkecil (minimum) dari a(x + b/2a)2. Sehingga kita dapat menentukan koordinat titik puncak atau titik balik minimum sebagai berikut.

Rumus absis X

a(x + b/2a)2 = 0

x + b/2a = 0

x = – b/2a

Rumus ordinat Y

y = a(x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/4a

y = 0 – (b2 – 4ac)/4a

y = – (b2 – 4ac)/4a

Dengan demikian, untuk nilai a > 0, persamaan kuadrat  y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak atau titik balik minimum di {– b/2a, – (b2 –4ac)/4a}.

untuk a < 0

Bentuk a(x + b/2a)2 selalu negatif atau sama dengan nol untuk semua x ∈ R. Jika a(x + b/2a)2 = 0 maka nilai tersebut merupakan nilai terbesar (maksimum) dari a(x + b/2a)2. Dengan mengunakan cara yang sama seperti cara di atas, maka kita dapatkan koordinat titik balik atau titik puncak yang sama pula yaitu di {– b/2a, – (b2 – 4ac)/4a}. Bedanya, kali ini titik puncak atau titik baliknya merupakan titik maksimum.

Dengan demikian, untuk nilai a < 0, persamaan kuadrat  y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak atau titik balik maksimum di {– b/2a, – (b2 –4ac)/4a}.

#4 Persamaan Sumbu Simetri

Apa itu sumbu simetri? Misalkan gambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c di tunjukkan seperti pada gambar di bawah ini.

Sumbu simetri adalah suatu garis yang membagi kurva parabola menjadi dua bagian yang sama atau dengan kata lain sumbu simetri adalah suatu garis tegak lurus yang melewati titik balik atau titik puncak grafik persamaan kuadrat. Rumus sumbu simetri dapat ditentukan dengan cara berikut ini.

Pembuat nol fungsi kuadrat adalah x1 dan x2. Jumlah dari x1 dan x2 adalah

x1 + x2 = – b/a

Cara mendapatkan rumus di atas dapat kalian pahami dalam artikel tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Selanjutnya, jika kalian perhatikan gambar di atas, nilai sumbu simetri tepat di tengah-tengah antara x1 dan x2 sehingga dapat kita peroleh rumus atau persamaan sumbu simetri sebagai berikut.

x = (x1 + x2)/2

x = (– b/a)/2

x = – b/2a

Dengan demikian, rumus sumbu simetri pada persamaan kuadrat  y = ax2 + bx + c adalah x = – b/2a

Berdasarkan penjelasan mengenai titik balik atau titik puncak parabola serta persamaan sumbu simetri, kita dapat menyimpulkan beberapa hal berikut ini.

1.Parabola y = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, memiliki titik puncak atau titik balik di {– b/2a, – (b2 – 4ac)/4a} atau {– b/2a, – D/4a}.

2.Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

3.Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah x = – b/2a.

Cara Menggambarkan Grafik Fungsi Kuadrat

Setelah kalian memahami pengertian titik potong dengan sumbu-X dan sumbu-Y, titik puncak atau titik balik parabola serta persamaan sumbu simetri, maka kalian dapat menggambarkan grafik fungsi kuadrat dengan sangat mudah. Langkah-langkah dalam menggambarkan grafik fungsi kuadrat secara umum adalah sebagai berikut.

Langkah 1

Tentukan titik-titik potong dengan sumbu-X dan sumbu-Y

Langkah 2

Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.

Langkah 3

Gambarkan koordinat titik-titik hasil langkah 1 dan langkah 2 pada bidang Cartesius. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

Untuk lebih memahami tentang cara menggambarkan grafik fungsi kuadrat, perhatikan contoh soal yang terdapat dalam artikel tentang 3 langkah mudah menggambar grafik fungsi kuadrat. Demikianlah artikel tentang pengertian, bentuk umum dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat beserta gambar lengkap. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Sumber: Buka disini